Ada yang bilang kalau matematika itu pada dasarnya adalah tentang mempelajari Relasi. Nah, yang menarik, relasi ini bisa dilihat sebagai himpunan pasangan terurut. Dari sini kita mulai bisa lihat betapa pentingnya konsep pasangan terurut secara fundamental.
Definisi. Relasi \( R \) dari himpunan \( A \) ke himpunan \( B \) adalah sebuah himpunan bagian (subset) dari \( A \times B \).
Misalkan \( R \) adalah sebuah relasi dari himpunan \( A \) ke himpunan \(B\). Jika \( (x, y) \in R \), kita bisa menuliskannya sebagai \( xRy \) atau \( R(x) = y \). Kalau \( xRy \), kadang kita bilang bahwa \( x \) berelasi dengan \( y \) (atau \( y \) memiliki relasi dengan \( x \)) terhadap relasi \( R \), atau cukup dibilang \( x \) berelasi dengan \( y \). Kalau himpunan \( A \) sama dengan \( B \), maka kita menyebutnya sebagai relasi biner pada \( A \).
Contoh. Perhatikan himpunan bilangan bulat \( \mathbb{Z} \). Misalkan \( R \) adalah himpunan semua pasangan terurut \( (m, n) \) dari bilangan bulat sedemikian sehingga \( m < n \). Dengan kata lain,
\[
R = \{(m, n) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \mid m < n\}.
\]
Maka \( R \) adalah relasi biner pada \( \mathbb{Z} \).
Misalkan \( R \) adalah suatu relasi dari himpunan \( A \) ke dalam himpunan \( B \).
Elemen-elemen dari \( A \) yang berelasi dengan elemen-elemen dari \( B \) membentuk sebuah himpunan bagian dari \( A \), yang disebut domain dari \( R \), dan elemen-elemen dari \( B \) yang berelasi dengan elemen-elemen dari \( A \) membentuk sebuah himpunan bagian dari \( B \), yang disebut range dari \( R \).
Definisi. Misalkan \( R \) adalah suatu relasi dari himpunan \( A \) ke dalam himpunan \( B \). Maka domain dari \( R \), yang dilambangkan dengan \( \mathcal{D}(R) \), didefinisikan sebagai himpunan
\[
\{x \mid x \in A \text{ dan terdapat } y \in B \text{ sehingga } (x, y) \in R \}.
\]
Range atau image dari \( R \), yang dilambangkan dengan \( \mathcal{I}(R) \), didefinisikan sebagai himpunan
\[
\{y \mid y \in B \text{ dan terdapat } x \in A \text{ sehingga } (x, y) \in R \}.
\]
Contoh. Misalkan \( A = \{4, 5, 7, 8, 9\} \) dan \( B = \{16, 18, 20, 22\} \). Didefinisikan \( R \subseteq A \times B \) sebagai
\[
R = \{(4, 16), (4, 20), (5, 20), (8, 16), (9, 18)\}.
\]
Maka \( R \) adalah relasi dari \( A \) ke \( B \). Di sini, \( (a, b) \in R \) jika dan hanya jika \( a \) membagi \( b \), di mana \( a \in A \) dan \( b \in B \).
Perhatikan bahwa untuk domain dari \( R \), kita peroleh \( \mathcal{D}(R) = \{4, 5, 8, 9\} \), dan untuk range dari \( R \), kita peroleh \( \mathcal{I}(R) = \{16, 18, 20\} \).
Dalam matematika, khususnya dalam pembahasan himpunan dan relasi, ada jenis relasi khusus yang disebut relasi ekuivalensi. Untuk bisa disebut sebagai relasi ekuivalensi, suatu relasi harus memenuhi tiga sifat penting: refleksif, simetris, dan transitif. Berikut ini adalah definisi formal dari ketiga sifat tersebut serta definisi dari relasi ekuivalensi.
Definisi. Misalkan \( R \) adalah relasi biner pada himpunan \( A \). Maka, \( R \) disebut:
-
Refleksif jika untuk semua \( x \in A \), berlaku \( xRx \),
-
Simetris jika untuk semua \( x, y \in A \), \( xRy \) mengakibatkan \( yRx \),
-
Transitif jika untuk semua \( x, y, z \in A \), jika \( xRy \) dan \( yRz \), maka \( xRz \).
Definisi. Relasi biner \( E \) pada himpunan \( A \) disebut relasi ekuivalensi pada \( A \) jika \( E \) bersifat refleksif, simetris, dan transitif.
Contoh. Misalkan \( n \) adalah bilangan bulat positif tetap dalam \( \mathbb{Z} \). Definisikan relasi \( \equiv_n \) pada \( \mathbb{Z} \) dengan untuk setiap \( x, y \in \mathbb{Z} \),
\[
x \equiv_n y \text{ jika dan hanya jika } n \mid (x – y),
\]
artinya \( x – y = nk \) untuk suatu \( k \in \mathbb{Z} \).
Sekarang kita tunjukkan bahwa \( \equiv_n \) adalah relasi ekuivalen pada \( \mathbb{Z} \).
-
Untuk setiap \( x \in \mathbb{Z} \), berlaku \( x – x = 0 = 0 \cdot n \). Dengan demikian, untuk setiap \( x \in \mathbb{Z} \), \( x \equiv_n x \). Jadi, \( \equiv_n \) bersifat refleksif.
-
Misalkan \( x, y \in \mathbb{Z} \). Asumsikan \( x \equiv_n y \). Maka terdapat \( q \in \mathbb{Z} \) sehingga \( qn = x – y \). Dengan demikian, \( (-q)n = y – x \), dan maka \( n \mid (y – x) \), yaitu \( y \equiv_n x \). Jadi, \( \equiv_n \) bersifat simetris.
-
Misalkan \( x, y, z \in \mathbb{Z} \). Asumsikan \( x \equiv_n y \) dan \( y \equiv_n z \). Maka terdapat \( q, r \in \mathbb{Z} \) sehingga \( qn = x – y \) dan \( rn = y – z \). Jadi,
\[
(q + r)n = (x – y) + (y – z) = x – z,
\]
dan karena \( q + r \in \mathbb{Z} \), ini berarti \( x \equiv_n z \). Jadi, \( \equiv_n \) bersifat transitif.
Oleh karena itu, \( \equiv_n \) adalah relasi ekuivalen pada \( \mathbb{Z} \).
Saat kita bekerja dengan relasi ekuivalensi kita sering tertarik untuk melihat bagaimana elemen-elemen dalam sebuah himpunan saling berhubungan atau “setara” satu sama lain menurut relasi tersebut. Dalam banyak kasus, daripada melihat setiap elemen satu per satu, akan jauh lebih berguna jika kita bisa mengelompokkan elemen-elemen yang saling ekuivalen ke dalam satu kelompok.
Nah, di sinilah konsep kelas ekuivalensi muncul. Kelas ekuivalensi membantu kita melihat struktur dalam himpunan dengan cara membagi elemen-elemennya ke dalam kelompok-kelompok yang isinya adalah elemen-elemen yang saling ekuivalen (berelasi) satu sama lain.
Definisi. Misalkan \( E \) adalah suatu relasi ekuivalensi pada himpunan \( A \). Untuk setiap \( x \in A \), kita definisikan:
\[
[x] = \{ y \in A \mid y \mathrel{E} x \}
\]
Himpunan \( [x] \) disebut kelas ekuivalensi (terhadap \( E \)) yang ditentukan oleh \( x \).
Kita akan membuktikan beberapa sifat dasar dari kelas ekuivalensi.
Teorema. Misalkan \( E \) adalah sebuah relasi ekuivalensi pada himpunan \( A \). Maka berlaku:
-
Untuk semua \( x \in A \), \( [x] \ne \emptyset \)
-
Jika \( y \in [x] \), maka \( [x] = [y] \), untuk \( x, y \in A \)
-
Untuk semua \( x, y \in A \), berlaku: \( [x] = [y] \) atau \( [x] \cap [y] = \emptyset \)
-
Himpunan \( A \) adalah gabungan dari semua kelas ekuivalensi terhadap \( E \), yaitu
\[
A = \bigcup_{x \in A} [x]
\]
Bukti:
-
Misalkan \( x \in A \). Karena \( E \) bersifat refleksif, maka \( xEx \). Jadi, \( x \in [x] \), sehingga \( [x] \ne \emptyset \).
-
Misalkan \( y \in [x] \). Maka \( yEx \), dan berdasarkan sifat simetris dari \( E \), diperoleh \( xEy \).
Untuk menunjukkan bahwa \( [x] = [y] \), kita cukup menunjukkan bahwa \( [x] \subseteq [y] \) dan \( [y] \subseteq [x] \).
Misalkan \( u \in [y] \). Maka \( uEy \). Karena \( uEy \) dan \( yEx \), maka dengan sifat transitif dari \( E \), diperoleh \( uEx \). Jadi, \( u \in [x] \), maka \( [y] \subseteq [x] \).
Sekarang misalkan \( u \in [x] \). Maka \( uEx \). Karena \( xEy \) dan \( uEx \), maka \( uEy \), sehingga \( u \in [y] \). Maka, \( [x] \subseteq [y] \).
Akibatnya, \( [x] = [y] \).
-
Misalkan \( x, y \in A \), dan anggap bahwa \( [x] \cap [y] \ne \emptyset \). Maka ada \( u \in [x] \cap [y] \), artinya \( u \in [x] \) dan \( u \in [y] \), yaitu \( uEx \) dan \( uEy \).
Karena \( E \) bersifat simetris dan \( uEy \), maka \( yEu \). Karena \( yEu \) dan \( uEx \), maka \( yEx \) berdasarkan transitivitas. Artinya, \( y \in [x] \), sehingga \( [y] = [x] \) menurut bagian (ii).
-
Misalkan \( x \in A \). Maka \( x \in [x] \subseteq \bigcup_{x \in A} [x] \), jadi \( A \subseteq \bigcup_{x \in A} [x] \).
Juga, jelas bahwa \( \bigcup_{x \in A} [x] \subseteq A \), karena semua \( [x] \subseteq A \).
Maka,
\[
A = \bigcup_{x \in A} [x].
\]
\(\square\)